ДЗ №5 — Электрические цепи

Задача 1. Вольт-амперные характеристики резисторов

Условие

Варианты М и А: На рисунке изображены зависимости силы тока от напряжения для двух резисторов. Перенесите график в работу. На графике постройте зависимость тока от напряжения для последовательно и параллельно соединённых резисторов $R_1$ и $R_2$.

📖 Подсказка 0: Где искать теорию

Теория: §1 «Последовательное и параллельное соединение резисторов», формулы (13) и (14).

Ключевые понятия: закон Ома, ВАХ, последовательное и параллельное соединение, эквивалентное сопротивление.

💡 Подсказка 1: Определение сопротивлений

ВАХ линейного резистора — прямая через начало координат. По закону Ома:

$$R = \frac{U}{I}$$

Выберите удобные точки на графике и найдите $R_1$ и $R_2$.

💡 Подсказка 2: Последовательное соединение

При последовательном соединении ток одинаков: $I = I_1 = I_2$. Напряжения складываются:

$$U_{\text{посл}}(I) = U_1(I) + U_2(I)$$

Графически: при фиксированном $I$ складываем горизонтальные отрезки.

💡 Подсказка 3: Параллельное соединение

При параллельном соединении напряжение одинаково: $U = U_1 = U_2$. Токи складываются:

$$I_{\text{пар}}(U) = I_1(U) + I_2(U)$$

Графически: при фиксированном $U$ складываем вертикальные отрезки.

💡 Подсказка 4: Аналитическая проверка

$$R_{\text{посл}} = R_1 + R_2$$ $$R_{\text{пар}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

ВАХ эквивалентного резистора — прямая с наклоном $\dfrac{1}{R_{\text{экв}}}$.

Замечание: прямая последовательного соединения проходит ниже обеих исходных, параллельного — выше.

✅ Ответ (Вариант М)

$R_1 = 30$ Ом, $R_2 = 50$ Ом.

$$R_{\text{посл}} = 80 \text{ Ом}, \quad R_{\text{пар}} = 18{,}75 \text{ Ом}$$

✅ Ответ (Вариант А)

$R_1 = 30$ Ом, $R_2 = 125$ Ом.

$$R_{\text{посл}} = 155 \text{ Ом}, \quad R_{\text{пар}} \approx 24{,}2 \text{ Ом}$$

Задача 2 →

Задача 2. Мощность нагревательных элементов

Условие

Вариант М: Нагревательный элемент, подключённый к некоторому источнику, выделяет мощность $P = 40$ Вт. Найдите суммарную мощность двух таких нагревателей, подключённых к этому же источнику: 1) последовательно; 2) параллельно.

Вариант А: То же, но $P = 30$ Вт.

📖 Подсказка 0: Где искать теорию

§1, формулы (13) и (14). Мощность на нагрузке: $P = \dfrac{U^2}{R}$.

💡 Подсказка 1: Ключевое наблюдение

Источник поддерживает постоянное напряжение $U$. Мощность зависит от эквивалентного сопротивления нагрузки:

$$P_{\text{н}} = \frac{U^2}{R_{\text{н}}}$$

💡 Подсказка 2: Последовательное соединение

$$R_{\text{посл}} = 2R \quad \Rightarrow \quad P_{\text{посл}} = \frac{U^2}{2R} = \frac{P}{2}$$

💡 Подсказка 3: Параллельное соединение

$$R_{\text{пар}} = \frac{R}{2} \quad \Rightarrow \quad P_{\text{пар}} = \frac{U^2}{R/2} = 2P$$

✅ Ответ

Вариант М ($P = 40$ Вт): $P_{\text{посл}} = 20$ Вт, $P_{\text{пар}} = 80$ Вт.

Вариант А ($P = 30$ Вт): $P_{\text{посл}} = 15$ Вт, $P_{\text{пар}} = 60$ Вт.

← Задача 1 Задача 3 →

Задача 3. Три одинаковых резистора

Условие

Варианты М и А: Три одинаковых резистора соединены как показано на рисунке и подключены к источнику $U = 6$ В. Мощность $P = 1$ Вт. Найдите $R$.

📖 Подсказка 0: Где искать теорию

§1, формулы (13) и (14). Мощность: $P = U^2 / R_{\text{экв}}$.

💡 Подсказка 1: Топология схемы

Два резистора параллельно, затем последовательно с третьим.

💡 Подсказка 2: Эквивалентное сопротивление

$$R_{\text{экв}} = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$$

💡 Подсказка 3: Уравнение и решение

$$P = \frac{U^2}{R_{\text{экв}}} = \frac{2U^2}{3R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{2U^2}{3P}$$

✅ Ответ

$$R = \frac{2 \cdot 36}{3} = 24 \text{ Ом}$$

← Задача 2 Задача 4 →

Задача 4. Сопротивление между контактами

Условие

Вариант М: $R_{AB}=40$ Ом, $R_{CD}=40$ Ом, $R_{AC}=50$ Ом.

Вариант А: $R_{AB}=30$ Ом, $R_{CD}=40$ Ом, $R_{AC}=50$ Ом.

Найдите $R$.

Решение готовится...

← Задача 19